怎么在微积分中求导

2022年09月24日 02:01:52

导数可以用来获得一个曲线图的很多信息,包括最大、最小、峰值、谷值、斜率等等。甚至可以用导数来画出复杂方程!不幸的是,算导数的过程一般挺冗长,但是这篇文章会教你怎么简单来做。

怎么在微积分中求导的方法

1理解一下导数记号的意思。

下列两种表示方法是最常见的,不过在这里也可以找到各种记号方法。莱布尼茨符号。如果有y 和x两个变量,这是最常用的。 dy/dx 就是y关于x的导数。如果想成Δy/Δx可能会更好办点, x 和 y 在这里有极其微小的差别。这个表达式也表示导数的极限定义: limh->0 (f(x+h)-f(x))/h。表达二阶导数的时候要写 dy/dx拉格朗日符号。f函数也被写成 f'(x)。这个念作"f撇x"。这个记号比上面那个简单,看起来也比较容易。要更高阶的导数,只要给f加 " ' ",因此二阶导数是f(x)。

2理解一下导数的定义,和导数的用处。

首先若要找出直线的斜率,只要选取两个点,把坐标代入(y2 - y1)/(x2 - x1)。但是这只适用于直线方程。要是要找曲线的斜率,要找两个点,代入 [f(x + dx) - f(x)]/dx。 Dx表示"delta x," 表示两个x坐标的差。注意这个公式和(y2 - y1)/(x2 - x1)差不多,只不过形式不同。因为曲线上用这种方法会出现偏差,所以要用非直接的方法找出斜率。要找出 (x, f(x))的斜率, dx 要趋于0,于是这两个点会无限接近另一个点。但是分母也不能等于0,所以把两个点的值代入以后,要用因式分解等等方法把分母的dx消掉。消掉后,让dx 等于 0,得出等式。 这就是 (x, f(x))的斜率了。导数是用来找出任何曲线的斜率的一般公式。看起来很麻烦,但是下面有一些例子来解释给你看。方法1显微分

1如果一边的y表达式已经有了,用显导数解。

2把等式代入[f(x + dx) - f(x)]/dx。

如 y = x,代入后[(x + dx) - x]/dx.

3把因子展开成[dx(2x + dx)]/dx。

把上下两个dx消去。得到2x + dx,让dx 趋近 0, 得到2x。这表示任何y = x 曲线的斜率是 2x。代入x,得到一个点的斜率

4以下是类似形式的导数式。

任何次数的导数都是次数乘以原方程-1次。比如x 的导数是 5x, x 导数是 3.5x。若x前已有数字,直接和次数相乘就行。如3x 求导得12x。任何常数的导数是0。 8 的导数是0和的导数是导数的和。比如 x + 3x 求导得3x + 6x积的导数是第一项乘以后一项的导数加上后一项乘以前一项的导数。如 x(2x + 1) 得 x(2) + (2x + 1)3x,即8x + 3x商的导数是(假设是 f/g形式) [g(f导数) - f(g导数)]/g。(x + 2x - 21)/(x - 3) 求导得 (x - 6x + 15)/(x - 3)。方法2隐微分

1若写不出y只在一边的的表达式,就要用隐微分来求导了。

即便硬要把y写到一边,用 dy/dx 求导也很麻烦。下面例子告诉你如何解决这类问题

2例子中 xy + 2y = 3x + 2y,把y 替换成 f(x),提醒你y是一个函数。

然后就会变成xf(x) + 2[f(x)] = 3x + 2f(x) 。

3要求导此方程,求等式两侧的关于x的微分(求导的专业术语),得到:xf'(x) + 2xf(x) + 6[f(x)]f'(x) = 3 + 2f'(x).

4再把 f(x) 换成 y 。注意不要对f'(x)也替换,因为这东西和f(x)不一样。

5解出f'(x)。

之后答案就会变成(3 - 2xy)/(x + 6y - 2)。方法3高阶求导

1一般情况下求高阶导数意思是求导数的导数(即二阶求导)。

如果叫你求三阶导数,意思是求导数的导数的导数。有的例子高阶导数会是0.方法4链式法则

1当y是 z的微分方程,z是x的微分方程,y是x的复合方程。

y关于x的导数 (dy/dx) 就是 (dy/du)*(du/dx)。链式法则可以用于复合次数项的等式,比如 (2x - x)。要求导,只要类似求积法则,把整个等式乘以次数,把整个等式的次数减一。然后把整个等式乘以内部项的导数,(这里是 2x - x)。答案就是3(2x - x)(8x - 1)。注意事项无论何时看到一个很复杂的求导问题,不要担心,只要试试用乘积法则、商法则把方程切成尽量小的小块,然后各项求导。多练习练习乘积法则、商法则、链式法则,以及特别要注意的隐微分,这些东西在微积分中是难点。要熟悉计算器使用。试试计算器不同的功能来解出导数。尤其要知道怎么用切线、导数函数来解题(如果有这功能的话)要把基本的三角函数求导原理和使用方法记住。警告不要忘了商法则中减号是在f[g'(x)]前的。很多人犯这个错。

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