怎么解三次方程

2022年09月23日 13:01:41

三次方程的最高次数为3次,它有3个解,或者说3个根,方程本身的形式是ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}

1检查三次方程,看是否包含常数项d{\displaystyle d}

2提取方程的公因式x{\displaystyle x}

3如果可能,将得到的二次方程因式分解。

很多情况下,提取公因式x{\displaystyle x}

4如果无法手动对括号内的部分进行因式分解,可使用二次公式求解。

你可以将a{\displaystyle a}

5零和二次方程的解就是三次方程的解。

二次方程有两个解,而三次方程有三个。你已经求出其中的两个解,即你为括号中“二次”部分求出的解。对于可以用“因式分解”方法求解的方程,第三个解一定为0{\displaystyle 0}

1确保三次方程有一个d{\displaystyle d}

2找出a{\displaystyle a}

3用a{\displaystyle a}

4手动代入整数,这种方法较为简单,但可能会比较费时。

得到相除的结果后,你可以迅速将整数手动代入,看哪些能让三次方程等于0{\displaystyle 0}

5使用更复杂,但可能更快速的综合除法。

如果你不想花时间一个一个地去代入所有的值,不妨尝试一下更快捷的方法,也就是所谓的综合除法。总的来说,你应该使用综合除法,用得到的整数值除以a{\displaystyle a}

1写下a{\displaystyle a}

2使用正确的公式计算判别式零。

用判别式方法求三次方程的解会用到十分复杂的数学原理,但如果严格遵循方法流程,你会发现,它在解令其他方法束手无策的三次方程方面十分实用。首先,将适当的值代入到公式Δ0=b23ac{\displaystyle \Delta _{0}=b^{2}-3ac}

3然后,计算Δ1=2b39abc+27a2d{\displaystyle \Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d}

4计算:

Δ=(Δ124Δ03)÷27a2{\displaystyle \Delta =(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div -27a^{2}}

5计算:

C=3(Δ124Δ03+Δ1)÷2{\displaystyle C=^{3}{\sqrt {\left({\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}+\Delta _{1}\right)\div 2}}}

6使用变量计算三个根。

三次方程的根或解可以使用公式(b+unC+Δ0÷(unC))÷3a{\displaystyle -(b+u^{n}C+\Delta _{0}\div (u^{n}C))\div 3a}计算,其中u=(1+3)÷2{\displaystyle u=(-1+{\sqrt {-3}})\div 2},而

n

等于

1

2

3

。根据需要代入数值进行计算,其中涉及到大量的数学运算,但你应该可以得到三个使方程成立的解。你可以分别计算

n

等于

1

2

3

时公式的值,来求得例题的答案。这样得到的答案可能就是三次方程的解。你可以将答案代入到方程中,使之等于

0

的答案即为方程的正确解。例如,将

1

代入到x33x2+3x1{\displaystyle x^{3}-3x^{2}+3x-1}中,计算结果为

0

,所以

1

就是三次方程的一个解。
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